m×n個の数a(i,j)を
[ a(0,0) a(0,1) a(0,2) a(0,3) ... a(0,n-1) ] [ a(1,0) a(1,1) a(1,2) a(1,3) ... a(1,n-1) ] [ a(2,0) a(2,1) a(2,2) a(2,3) ... a(2,n-1) ] [ ] [ a(m-1,0) a(m-1,n-1) ]
のように、縦横の表にあらわしたものを(m,n)型の行列という。 m=nの行列をm次の正方行列(square matrix)という。
上からi番目の横の数の並びを第i行(the i-th row)、 左からj番目の縦の数の並びを第j列(the j-th column)という。
(m,n)型行列は、 大きさnの行(横)ベクトルをm個縦に並べたものとみなすこともできるし、 大きさmの列(縦)ベクトルをn個横に並べたものとみなすこともできる。
第i行、第j列にある数a(i,j)を(i,j)要素*3(the (i,j)-th element)という。
i=jの要素a(i,j)を対角要素(diagonal element)、 それ以外の要素を非対角要素(nondiagonal element)という。
Matrixクラスを使うためには、require 'matrix'する必要がある。
require 'matrix'
Matrix.[rows]creates a matrix where `rows' indicates rows. The parameter `rows' is an array of arrays, e.g, Matrix[[11, 12], [21, 22]]
rowsを要素とする行列を生成する。 ただし、引数rowsはネストした配列(=配列の配列)である。 例 Matrix[[11, 12], [21, 22]]
Matrix.rows(rows, copy = true)creates a matrix where `rows' indicates rows. If optional argument `copy' is false, use the array as internal structure of the metrix without copying.
rowsを要素とする行列を生成する。 ただし、引数rowsはネストした配列(=配列の配列)である。 また、オプション引数 copy が偽(false)ならば、複製を行わない。
Matrix.columns(columns)creates a new matrix using `columns` as set of colums vectors.
columnsを列ベクトルの集合とする行列を生成する。
Matrix.diagonal(values)creates a matrix where `values' indicates columns.
対角要素がvalues (配列)で、非対角要素が全て0であるような正方行列を生成する。
Matrix.scalar(n, value)creates a diagonal matrix such that the diagal compornents is given by `values'.
対角要素が全てvalue (数)で、非対角要素が全て0であるようなn次の正方行列を生成する。
Matrix.identity(n)
Matrix.unit(n)
Matrix.I(n)creates an n-by-n unit matrix.
n次の単位行列を生成する。
単位行列とは、対角要素が全て1で、非対角要素が全て0であるような行列である。
Matrix.zero(n)creates an n-by-n zero matrix.
n次の零行列を生成する。 零行列とは、要素が全て0の行列である。
Matrix.row_vector(row)creates a 1-by-n matrix such the row vector is `row'. The parameter `row' is given as a Vector or an Array.
要素がrowの(1,n)型の行列（行ベクトル)を生成する。 ここで、引数rowは、VectorまたはArrayで与えられる。
Matrix.column_vector(column)creates a n-by-1*4 matrix such that column vector is `column'. The pameter `column' is given as a Vector or an Array.
要素がcolumnの(n,1)型の行列（列ベクトル)を生成する。 ここで、引数columnは、VectorまたはArrayで与えられる。
Matrix#[i, j]returns the (i,j)th-component
(i,j)要素を返す。
Matrix#row_sizereturns the number of rows
行の大きさを返す。
Matrix#column_sizereturns the number of columns
列の大きさを返す。
Matrix#minor(from_row,row_size,from_col,col_size)
Matrix#minor(from_row..to_row,from_col..to_col)returns sub matrix. parameter is specified as the following:
部分行列を返す。たたし、パラメータは、次の方法で指定する。
Matrix#[i, j] = x(i,j)要素をxに変更する。
このメソッドは、matrix.rbに定義されていない。 以下に、その定義と使用例を示す。
require 'matrix'
class Matrix
def []=(i,j,x)
@rows[i][j]=x
end
end
m=Matrix[[11,12],[21,22]]
m[1,1]=-1
p m #=> Matrix[[11,12],[21,-1]]
Matrix#* mtimes
行列mを右から乗じた行列を返す。
Matrix#+ mplus
行列mを加えた行列を返す。
Matrix#- mminus
行列mを減じた行列を返す。
Matrix#/ mself * m.inv
行列mの逆行列を右から乗じた行列を返す。
Matrix#inverse
Matrix#invinverse
逆行列を返す。
Matrix#** n
Matrix#power(n)power
スカラーnに対するべき乗を返す。
Matrix#** m
Matrix#power(m)power
行列mに対するべき乗を返す。
Matrix#determinant
Matrix#detreturns the determinant
行列式(determinant) *5を返す。
Matrix#rankreturns the rank
階数(rank) *6を返す。
Matrix#trace
Matrix#trreturns the trace
トレース(trace)を返す。 行列のトレース(trace)とは、対角要素の和である。
Matrix#transpose
Matrix#treturns the transposed
転置行列(transpose matrix)を返す。 冒頭に掲げた行列に対して、a(j,i)を(i,j)要素とする(n,m)型行列を転置行列という。
Matrix#row(i)returns the i-th row vector. When the block is supplied for the method, the block is iterated over all row vectors.
第i番目の行ベクトルを返す。 ブロックが与えられたときは、各行ベクトルについて、ブロックを繰り返す。
Matrix#column(j)returns the j-th column vector. When the block is supplied for the method, the block is iterated over all column vectors.
第j番目の列ベクトルを返す。 ブロックが与えられたときは、各列ベクトルについて、ブロックを繰り返す。
Matrix#collect {|x| ... }
Matrix#map {|x| ... }creates a matrix which is the result of iteration of given block over all components.
行列の各要素に対してブロックの適用を繰り返した結果を、要素として持つ行列を生成する。
Matrix#regular?Is regular?
正則(regular)なら真を返す。
行列が正則であるとは、正方行列であり、かつ、その逆行列が存在することである。
Matrix#singular?Is singular? i.e. Is non-regular?
特異(singular)である、すなわち、正則でないなら真を返す。
Matrix#square?Is square?
正方行列であるなら、真を返す。
Matrix#row_vectorsarray of row vectors
列ベクトルの配列を返す。
Matrix#column_vectorsarray of column vectors
行ベクトルの配列を返す。
Matrix#to_aconverts to Array
Arrayに変換する。 結果は、ネストした配列(配列の配列)となる。
Matrix#to_fconverts each element to Float
各要素を浮動小数点数Floatに変換する。
Matrix#to_iconverts each element to Integer
各要素を整数Integerに変換する。
Matrix#to_rconverts each element to Rational
各要素を有理数Rationalに変換する。
"require 'complex'" extends every elements of Matrix object to Complex class. Most of the methods of Matrix class works as expected in this extended Matrix class.
require 'complex'することによって、 Matrixオブジェクトの要素はComplexクラスに拡張される。 多くの*7メソッドは、この拡張されたMatrixクラスでも、期待通りに動作する。
The following example illustrates Matrix#conjugate method which replaces every elements into its conjugate.
次の例は、各要素を共役複素数に置換するメソッド(Matrix#conjugate)である。
require 'matrix'
require 'complex'
class Matrix
def conjugate
collect{|e| e.conjugate }
end
end
*1weblog向け、練習の続き。コメント歓迎。
*2元の英語も残しておきます。そのうち、英語版を分離します。
*3elementという語には、数学では「成分」、物理では「要素」という訳をあてる。数学の「要素」はcomponentという語に当たる
*4原文に1-by-nと書いてあるのは誤り
*5線形代数の教科書を見よ
*6線形代数の教科書を見よ
*7全てかな？